Question

11．已知锐角△ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a²+b²=6abcosC，且sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinB，角C=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理得c²=2$\sqrt{3}$ab，代入余弦定理cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$即可得出关于cosC的方程，解出cosC即可得出C．

解答 解：∵sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinB，∴c²=2$\sqrt{3}$ab．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{6abcosC-2\sqrt{3}ab}{2ab}$=3cosC-$\sqrt{3}$，
解得cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴C=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，属于基础题．