Question

1．设a，b都是正数，且a+b-2a²b²-6=0，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为4$\sqrt{3}$，此时ab的值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 a，b都是正数，且a+b-2a²b²-6=0，可得a+b=2a²b²+6，代入变形为$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{2{a}^{2}{b}^{2}+6}{ab}$=2$（ab+\frac{3}{ab}）$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a，b都是正数，且a+b-2a²b²-6=0，∴a+b=2a²b²+6，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{2{a}^{2}{b}^{2}+6}{ab}$=2$（ab+\frac{3}{ab}）$≥4$\sqrt{ab•\frac{3}{ab}}$=4$\sqrt{3}$，当且仅当ab=$\sqrt{3}$时取等号．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为4$\sqrt{3}$，此时ab的值为$\sqrt{3}$．
故答案分别为：4$\sqrt{3}$；$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．