Question

6．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（1）求函数f（x）的周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间，单调递减区间；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域；
（4）求f（x）的对称轴方程，及对称中心．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式，利用正弦函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期．
（2）利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调区间．
（3）利用正弦函数的定义域和值域，求得 f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的值域．
（4）由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得f（x）的对称轴方程，及对称中心．

解答 解：（1）函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期为 $\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，可得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．
（4）对于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，可得它的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，可得它的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，可得它的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，单调性，定义域和值域，以及正弦函数的图象的对称性，属于基础题．