Question

13．已知点P（x，y）（xy≠0）是椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{8}$=1上动点，F₁、F₂为椭圆的左，右焦点，?λ∈R⁺，使得$\overrightarrow{PM}$=λ（${\frac{{\overrightarrow{P{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{P{F_1}}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{P{F_2}}}}{{|{\overrightarrow{P{F_2}}}|}}}$），且$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，则|$\overrightarrow{OM}}$|的取值范围为（0，2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 延长F₂M交PF₁于点N，由题意可知△PNF₂为等腰三角形，得OM是△PF₁F₂的中位线．利用三角形中位线定理和椭圆的定义，算出|OM|=a-|PF₂|，再由椭圆的焦半径|PF₂|的取值范围加以计算，即可得到|OM|的取值范围．

解答 解：如图，延长PF₂、F₁M，交与N点，连接OM
∵$\overrightarrow{PM}$=λ（${\frac{{\overrightarrow{P{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{P{F_1}}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{P{F_2}}}}{{|{\overrightarrow{P{F_2}}}|}}}$），且$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
∴PM是∠F₁PF₂，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M为F₁F₂中点，
∵O为F₁F₂中点，M为F₁N中点
∴|OM|=$\frac{1}{2}$|F₂N|=$\frac{1}{2}$||PN|-|PF₂||=$\frac{1}{2}$||PF₁|-|PF₂||
设P点坐标为（x₀，y₀）
∵在椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{8}$=1，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
由圆锥曲线的统一定义，得|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀+a-ex₀|=|2ex₀|=$\sqrt{2}$|x₀|
∵P点在椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{8}$=1上，∴|x₀|∈[0，4]，
又∵x≠0，y≠0，可得|x₀|∈（0，4），∴|OM|∈（0，2$\sqrt{2}$）．
故答案为：（0，2$\sqrt{2}$）．

点评 本题给出椭圆焦点三角形角平分线的垂线，求垂足到椭圆中心距离的范围．着重考查了椭圆的定义与简单几何性质、等腰三角形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，属于中档题．