Question

4．设x是实数，定义[x]不超过实数x的最大整数，如：[2]=2，[2.3]=2，[-2.3]=-3，记函数f（x）=x-[x]，函数g（x）=[3x+1]+$\frac{1}{2}$给出下列命题：
①函数f（x）在[-$\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$]上有最小值，无最大值；       
②f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）且f（x）为偶函数；
③若g（x）-2x=0的解集为M，则集合M的所有元素之和为-2；
④设a_n=f（$\frac{201{2}^{n}}{2013}$），则当n为偶数时$\sum_{i=1}^{n}$a_i=$\frac{n}{2}$，当n为奇数时，则$\sum_{i=1}^{n}$a_i=$\frac{n-1}{2}$+$\frac{2012}{2013}$．
其中正确的命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 ①求出f（x）在x∈[-$\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$]的解析式，判断f（x）在[-$\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$]上有最小值，无最大值；       
②计算f（-$\frac{1}{2}$）与f（$\frac{1}{2}$）的值，得出f（-$\frac{1}{2}$）≠f（$\frac{1}{2}$）；
③把方程g（x）-2x=0化为[3x+1]=2x-$\frac{1}{2}$，根据题意求出方程的解组成的集合M，计算M的所有元素之和为即可；
④求出a_n的通项公式，计算n为偶数和奇数时$\sum_{i=1}^{n}$a_i的值即可．

解答 解：对于①，x∈[-$\frac{1}{6}$，0）时，[x]=-1，f（x）=x+1；
x∈[0，$\frac{2}{3}$]时，[x]=0，f（x）=x；
所以x∈[-$\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$]时，函数f（x）=x-[x]=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x∈[-\frac{1}{6}，0）}\\{x，x∈[0，\frac{2}{3}]}\end{array}\right.$；
即f（x）在[-$\frac{1}{6}$，$\frac{2}{3}$]上有最小值0，无最大值；命题正确．       
对于②，f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-（-1）=$\frac{3}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-0=$\frac{1}{2}$，
所以f（-$\frac{1}{2}$）≠f（$\frac{1}{2}$），命题错误．
对于③，方程g（x）-2x=0可化为[3x+1]+$\frac{1}{2}$-2x=0，
即[3x+1]=2x-$\frac{1}{2}$；
根据题意得，等式左边为整数，设2x-$\frac{1}{2}$=k（k为整数），
解得x=$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{2}$）；
所以3x+1=$\frac{3}{2}$（k+$\frac{1}{2}$）+1=$\frac{3}{2}$k+$\frac{7}{4}$，其整数部分为k；
当k为奇数时，$\frac{3}{2}$k+$\frac{7}{4}$的整数部分为$\frac{3}{2}$（k+1）=k，
解得k=-3，此时x=-$\frac{5}{4}$；
当k为偶数时，$\frac{3}{2}$k+$\frac{7}{4}$的整数部分为$\frac{3}{2}$k+1=k，
解得k=-$\frac{3}{4}$，此时x=-$\frac{3}{4}$；
则集合M={-$\frac{5}{4}$，-$\frac{3}{4}$}，
所以M的所有元素之和为-$\frac{5}{4}$-$\frac{3}{4}$=-2；命题正确．
④因为a_n=f（$\frac{201{2}^{n}}{2013}$）=$\frac{{2012}^{n}}{2013}$-[$\frac{{2012}^{n}}{2013}$]=$\frac{{（2013-1）}^{n}}{2013}$-[$\frac{{（2013-1）}^{n}}{2013}$]=$\frac{{（-1）}^{n}}{2013}$-[$\frac{{（-1）}^{n}}{2013}$]，
所以当n为偶数时$\sum_{i=1}^{n}$a_i=（$\frac{-1}{2013}$+1）+（$\frac{1}{2013}$-0）+…+（$\frac{-1}{2013}$+1）+（$\frac{1}{2013}$-0）=$\frac{n}{2}$，
当n为奇数时$\sum_{i=1}^{n}$a_i=（$\frac{-1}{2013}$+1）+（$\frac{1}{2013}$-0）+…+（$\frac{-1}{2013}$+1）+（$\frac{1}{2013}$-0）+（$\frac{-1}{2013}$+1）=$\frac{n-1}{2}$+$\frac{2012}{2013}$；命题正确．
综上，正确的命题序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了新定义函数的应用问题，也考查了函数与数列的综合应用问题，也考查了转化思想与集合思想的应用问题，是较难的题目．