Question

6．函数f（x）定义在区间[a，b]上，设“min{f（x）|x∈D}”表示函数f（x）在集合D上的最小值，“max{f（x）|x∈D}”表示函数f（x）在集合D上的最大值．现设f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为区间[a，b]上的“第k类压缩函数”．
（1）若函数f（x）=x³-3x²，x∈[0，3]，求f（x）的最大值，写出f₁（x）、f₂（x）的解析式；
（2）若m＞0，函数f（x）=x³-mx²是[0，m]上的“第3类压缩函数”，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，求得单调区间可得极值和最值，由新定义可得f₁（x）、f₂（x）的解析式；
（2）求得f（x）的导数，求得单调区间可得极值和最值，由新定义可得f₁（x）、f₂（x）的解析式，由恒成立思想，运用参数分离和不等式的解法，即可得到m的范围．

解答 解：（1）由于f'（x）=3x²-6x，故f（x）在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增．
所以，f（x）的最大值为max{f（0），f（3）}=0．
即有${f_1}（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^3}-3{x^2}，0≤x≤2}\\{-4，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2＜x≤3}\end{array}}\right.$，f₂（x）=0；
（2）由于f'（x）=3x²-2mx，故f（x）在$[0，\frac{2m}{3}]$上单调递减，在$[\frac{2m}{3}，m]$上单调递增，
而f（0）=f（m）=0，$f（\frac{2m}{3}）=-\frac{{4{m^3}}}{27}$，
故${f_1}（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^3}-m{x^2}，0≤x≤\frac{2m}{3}}\\{-\frac{{4{m^3}}}{27}，\;\;\;\;\frac{2m}{3}＜x≤3}\end{array}}\right.$，f₂（x）=0，
${f_2}（x）-{f_1}（x）=\left\{{\begin{array}{l}{m{x^2}-{x^3}，0≤x≤\frac{2m}{3}}\\{\frac{{4{m^3}}}{27}，\;\;\;\;\;\;\frac{2m}{3}＜x≤3}\end{array}}\right.$．
设对正整数k有f₂（x）-f₁（x）≤kx对x∈[0，m]恒成立，
当x=0时，k∈N^*均成立；
当$0＜x≤\frac{2m}{3}$时，$k≥\frac{{{f_2}（x）-{f_1}（x）}}{x}$恒成立，
而$\frac{{{f_2}（x）-{f_1}（x）}}{x}=-{x^2}+mx=-{（x-\frac{m}{2}）^2}+\frac{m^2}{4}≤\frac{m^2}{4}$，故$k≥\frac{m^2}{4}$；
当$\frac{2m}{3}＜x≤m$时，$k≥\frac{{{f_2}（x）-{f_1}（x）}}{x}$恒成立，而$\frac{{{f_2}（x）-{f_1}（x）}}{x}=\frac{{\frac{{4{m^3}}}{27}}}{x}=\frac{{4{m^3}}}{27x}＜\frac{{2{m^2}}}{9}$；
故$k≥\frac{{2{m^2}}}{9}$；所以，$k≥\frac{m^2}{4}$，
又f（x）是[0，3]上的“第3类压缩函数”，故$2＜\frac{m^2}{4}≤3$，
所以，$2\sqrt{2}＜m≤2\sqrt{3}$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题．