Question

已知函数f(x)=lg(x+

a

x

-2)，其中a＞0．
（1）若对任意的x∈[2，+∞），都有f（x）＞0，试求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的定义域．

Answer 1

分析：（1）f（x）＞0?x+

a

x

-2＞1?x²-3x+a＞0恒成立，x∈[2，+∞）；利用g（x）=x²-3x+a在x∈[2，+∞）上的单调递增的性质即可求得实数a的取值范围；
（2）由题意，x+

a

x

-2＞0（x＞0）?x²-2x+a＞0（x＞0），构造函数g（x）=x²-2x+a，分△＜0与△≥0讨论即可求得函数f（x）的定义域．

解答：解：（1）f（x）＞0即为x+

a

x

-2＞1，
∵x∈[2，+∞），则x²-3x+a＞0恒成立，
由对称轴x=

3

2

，则必有2²-3×2+a＞0，
∴a＞2．
（2）由题意，x+

a

x

-2＞0，
∵a＞0，则显然x＜0不成立；故x＞0，
不等式可变形为x²-2x+a＞0，不妨设g（x）=x²-2x+a，
则当△＜0，即4-4a＜0，此时a＞1，定义域为（0，+∞）．
当△≥0，即0＜a≤1时，定义域为（0，1-

1-a

）∪（1+

1-a

，+∞）．
综上，当a＞1，定义域为（0，+∞）；0＜a≤1时，定义域为（0，1-

1-a

）∪（1+

1-a

，+∞）．

点评：本题考查函数函数恒成立问题，考查函数单调性的判断与证明，考查分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．