Question

13．有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（a＞m＞0）的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则△ANB周长的最小值为（　　）

• A． 2（a-m）
• B． （a-m）
• C． 2（b-n）
• D． 2（a+m）

Answer 1

分析 根据椭圆及双曲线的定义，表示出△ANB周长，由丨AB丨+丨AM丨≥丨BM丨，则当且仅当M、A、B共线时，△ANB周长的最小，最小值为2（a-m）．

解答 解：由丨BM丨+丨BN丨=2a，丨AM丨-丨AN丨=2m，
则△ANB周长L=丨AB丨+丨BN丨+丨AN丨=丨AB丨+2a-丨BM丨+丨AN丨，
=丨AB丨+2a-丨BM丨+丨AM丨-2m，
由丨AB丨+丨AM丨≥丨BM丨，
则l≥2a-2m，
当且仅当M、A、B共线时，△ANB周长的最小，
最小值为2（a-m），
故选A．

点评 本题考查椭圆及双曲线的定义，三角形的性质，考查数形结合思想，属于中档题．