Question

15．在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且满足a²+c²-b²=ac．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{m}$=（sinA，cos2A），$\overrightarrow{n}$=（-6，-1），求$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，由此能求出B．
（Ⅱ）求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-6sinA-cos2A=2（sinA-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{11}{2}$，由此能求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$取得的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且满足a²+c²-b²=ac．
∴由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{m}$=（sinA，cos2A），$\overrightarrow{n}$=（-6，-1），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-6sinA-cos2A
=2sin²A-6sinA-1
=2（sinA-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{11}{2}$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴0＜sinA≤1．
∴当sinA=1时，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$取得最小值为-5．

点评 本题考查三角形中角的大小的求法，考查向量的数量积的求法，考查余弦定理、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．