在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆E:的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为、.设直线的倾斜角的正弦值为,圆与以线段为直径的圆关于直线对称.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)判断直线与圆的位置关系,并说明理由;
(3)若圆的面积为,求圆的方程.
(1),(2)相切,(3).
解析试题分析:(1)求椭圆E的离心率,只需列出关于的一个等量关系就可解出. 因为直线的倾斜角的正弦值为,所以,即,(2)判断直线与圆的位置关系,通常利用圆心到直线距离与半径大小比较. 因为直线的倾斜角的正弦值为,所以直线的斜率为于是的方程为:,因此中点到直线距离为所以直线与圆相切,又圆与以线段为直径的圆关于直线对称,直线与圆相切.(3)由圆的面积为知圆半径为1,所以设关于直线:的对称点为,则解得.所以,圆的方程为.
【解】(1)设椭圆E的焦距为2c(c>0),
因为直线的倾斜角的正弦值为,所以,
于是,即,所以椭圆E的离心率
(2)由可设,,则,
于是的方程为:,
故的中点到的距离, 又以为直径的圆的半径,即有,
所以直线与圆相切.
(3)由圆的面积为知圆半径为1,从而,
设的中点关于直线:的对称点为,
则
解得.所以,圆的方程为
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(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,
第3小题满分6分.
已知椭圆过点,两焦点为、,是坐标原点,不经过原点的直线与椭圆交于两不同点、.
(1)求椭圆C的方程;
(2) 当时,求面积的最大值;
(3) 若直线、、的斜率依次成等比数列,求直线的斜率.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,右焦点到右顶点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在与椭圆交于两点的直线:,使得成立?若存在,求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.
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已知中心在原点的椭圆C: 的一个焦点为为椭圆C上一点,△MOF2的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OM的直线l,使得l与椭圆C相交于A、B两点,且以线段AB为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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已知椭圆:的右焦点为,短轴的一个端点到的距离等于焦距.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点,,是否存在直线,使得△与△的面积比值为?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
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设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点,、的焦点均在轴上,过的焦点F作直线,与交于A、B两点,在、上各取两个点,将其坐标记录于下表中:
(1)求,的标准方程;
(2)若与交于C、D两点,为的左焦点,求的最小值;
(3)点是上的两点,且,求证:为定值;反之,当为此定值时,是否成立?请说明理由.
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已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为,点在线段的垂直平分线上,且,求的值.
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巳知椭圆的离心率是.
⑴若点P(2,1)在椭圆上,求椭圆的方程;
⑵若存在过点A(1,0)的直线,使点C(2,0)关于直线的对称点在椭圆上,求椭圆的焦距的取值范围.
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