Question

设P₁，P₂，…，P_j为集合P={1，2，3，…，i}的子集，其中i，j为正整数．记a_ij为满足P₁∩P₂∩…∩P_j=∅的有序子集组（P₁，P₂，…，P_j）的个数．
（Ⅰ）求a₂₂的值；
（Ⅱ）求a_ij的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得在P的2元子集中，元素“1”的包含关系有3种情形：属于P₁且不属于P₂；属于P₂且不属于P₁和都不属于P₁、P₂，同理元素“2”也有3种情形，利用分步计数原理即可得到a₂₂=3×3=9；
（2）类似（1）的分析加以讨论，考虑P={1，2，…，i}中的元素“1”的情形，共有Cj0+Cj1+Cj2+…+Cjj-1=2^j-1种情形，同理其它元素也都有2^j-1种情形，由此根据分步计数原理可得a_ija_ij=（2^j-1）ⁱ．

解答：解：（1）由题意得P₁，P₂为集合P={1，2}的子集，
 因为P₁∩P₂=∅，所以集合P={1，2}中的元素“1”共有如下3种情形：
 1∈P₁且1∉P₂；1∉P₁且1∈ P₂；1∉P₁且1∉P₂；
同理可得集合P={1，2}中的元素“2”也有3种情形，
根据分步计数原理，可得a₂₂=3×3=9；                        …4分
（2）考虑P={1，2，…，i}中的元素“1”，有如下情形：
1不属于P₁，P₂，…，P_j中的任何一个，共Cj0种；
1只属于P₁，P₂，…，P_j中的某一个，共Cj1种；
1只属于P₁，P₂，…，P_j中的某两个，共Cj2种；
         …
1只属于P₁，P₂，…，P_j中的某（j-1）个，共Cjj-1种，
根据分类计数原理得，元素“1”共有Cj0+Cj1+Cj2+…+Cjj-1=2^j-1种情形，…8分
同理可得，集合P={1，2，…，i}中其它任一元素均有（2^j-1）种情形，
根据分步乘计数原理，得满足条件有序子集组（P₁，P₂，…，P_j）的个数总共有（2^j-1）ⁱ个，
即a_ij=（2^j-1）ⁱ．            …10分

点评：本题着重考查了集合的定义与运算、排列组合公式的应用和分类计数原理、分步计数原理等知识，属于中档题．