Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于D，DE⊥AC，交AC的延长线于E，OE交AD于F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC=4，AB=10，求

AF

DE

的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆的切线的判定定理的证明

专题：

分析：（1）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形性质推行∠CAD=∠ODA，推出OD∥AE，根据平行线性质和切线的判定推出即可；
（2）过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，由△AED≌△AHD可得AE=AH=7，由△AEF和△OFD相似，得出比例式，代入求出即可．

解答： （1）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC．
∴OD∥AE．
又AE⊥DE，∴OE⊥OD，
又OD为半径．
∴DE是的⊙O切线．…（5分）
（2）解：过D作DH⊥AB于H，
则有∠DOH=∠CAB．
cos∠DOH=cos∠CAB=

AC

AB

=

2

5

．…（6分）
∵OD=5，AB=10，OH=2，∴AH=7．
由△AED≌△AHD可得AE=AH=7，…（8分）
又由△AEF∽△DOF，可得AF：DF=AE：OD=7：5，
∴

AF

DF

=

7

5

．…（10分）

点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，角平分线定义等知识点的运用，题目较好，综合性强，有一定的难度，主要培养学生综合运用所学知识进行推理的能力．