Question

袋中有大小相同的五个球，偏号分别为1，2，3，4，5，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为奇数，把该球编号改为2后放回袋中继续取球，若所取球的编号为偶数，则停止取球．
（Ⅰ）求“第三次取球后停止取球”的概率；
（Ⅱ）若第一次取到奇数，记第二次与第一次取球的编号之和为ζ，求ζ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）利用相互独立事件同时发生的概率计算公式能求“第三次取球后停止取球”的概率；
（Ⅱ）由已知条件推导出ζ的可能取值，分别求出相对应的概率，由此能求出ζ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）记“第三次取球后才停止取球”为事件A．
∴第一次取到奇数球的概率为

3

5

，第二次取球时袋中有2个奇数，
∴第二次取到奇数球的概率为

2

5

，第三次取球时袋中有2个偶数球，
而这三次取球相互独立，
∴P（A）=

3

5

×

2

5

×

4

5

=

24

125

；
（Ⅱ）若第一次取到1时，第二次取球时袋中有编号为2，2，3，4，5的五个球；
若第一次取到3时，第二次取球时袋中有编号为1，2，2，4，5的五个球；
第一次取到5时，第二次取球时袋中有编号为1，2，2，3，4的五个球．
∴ζ的可能取值为3，4，5，6，7，8，9
P（ζ=3）=

1

3

×

2

5

=

2

15

，P（ζ=4）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

1

5

=

2

15

，P（ζ=5）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

2

5

=

3

15

，
P（ζ=6）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

1

5

=

2

15

，P（ζ=7）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

2

5

=

3

15

，P（ζ=8）=

1

3

×

1

5

+

1

3

×

1

5

=

2

15

，
P（ζ=9）=

1

3

×

1

5

=

1

15

，
∴ζ的分布列为

ζ	3	4	5	6	7	8	9
P	2 15	2 15	3 15	2 15	3 15	2 15	1 15

数学期望Eζ=3×

2

15

+4×

2

15

+5×

3

15

+6×

2

15

+7×

3

15

+8×

2

15

+9×

1

15

=

87

15

．

点评：本题考查求离散型随机变量的分布列以及数学期望等有关知识．求出随机变量ζ所有可能的取值的概率，是解题的难点．