Question

已知函数f（x）=（1-x）e^x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x≥0时，g（x）=f（x）+λx²≤0，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求最值实质就是利用导数判断函数的单调性，转化为导函数的问题，
（Ⅱ）先求得g′（x），然后对参数λ进行分类讨论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（1-x）e^x-1．
∴f′（x）=-xe^x，
当x=0时，f′（x）=0；当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0；
所以函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，在区间（0，+∞）上单调递减；
故f（x）_max=f（0）=0．    
（Ⅱ）由g（x）=（1-x）e²+λx²-1，得g′（x）=-x（e^x-2λ）．
当λ≤0时，由（Ⅰ）得g（x）=f（x）+λx²≤f（x）≤0成立； 
当0＜λ≤

1

2

时，因为x∈（0，+∞）时g′（x）＜0，所以x≥0时，
g（x）≤g（0）=0成立；  
当λ＞

1

2

时，因为x∈（0，ln2λ）时，g′（x）＞0，所以g（x）＞g（0）=0．
综上，知λ的取值范围是(-∞，

1

2

]．

点评：本题主要考查了函数的最值得求法，以及求参数的取值范围，关键是求导．