Question

已知P是圆M：x²+y²+4x+4-4m²=0（m＞2）上任意一点，点N的坐标为（2，0），线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C．
（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；
（2）当m=

5

时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，

1

|EA|2

+

1

|EB|2

为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，根据椭圆的定义，即可求出轨迹C的方程；
（2）先计算E若存在必为(±

30

3

，0)定值为6，再进行证明．

解答： 解：（1）由题意，|PQ|=|QN|，
∴|QN|+|QM|=|QP|+|QM|=|MP|=2m＞4，
∴轨迹C是M，N为焦点，以2m为长轴长的椭圆，方程为m＞2，C：

x2

m2

+

y2

m2-4

=1；
（2）由（1）曲线C为

x2

5

+y2=1，
设E（x₀，0），分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD，C'D'，
则

1

|EC|2

+

1

|ED|2

=

1

|EC′|2

+

1

|ED′|2

，即

2

1- x 2 0 5

=

1

| 5 -x0|2

+

1

|1- 5 -x0|2

解得x0=±

30

3

，所以E若存在必为(±

30

3

，0)定值为6．（6分）
下证(±

30

3

，0)满足题意．
设过点E(

30

3

，0)的直线方程为x=ty+

30

3

，代入C中得：(t2+5)y2+

2 30

3

ty-

5

3

=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

2 30 t

3(t2+5)

，y₁y₂=-

5

3(t2+5)

（8分）

1

|EA|2

+

1

|EB|2

=

1

(1+t2) y 2 1

+

1

(1+t2) y 2 2

=

1

(1+t2)

(

1

y 1 2

+

1

y 2 2

)=

1

(1+t2)

y 2 1 + y 2 2

y 2 1 y 2 2

=

1

(1+t2)

(y1+y2)2-2y1y2

(y1y2)2

=

1

(1+t2)

( 2 30 t 3(t2+5) )2+2 5 3(t2+5)

( 5 3(t2+5) )2

=6（13分）
同理可得E(-

30

3

，0)也满足题意．
综上得定点为E(±

30

3

，0)，定值为

1

|EA|2

+

1

|EB|2

=6．（14分）

点评：本题主要考查了轨迹方程的问题，考查存在性问题，先猜后证是关键．