Question

7．如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，DD'⊥平面ABCD，∠DAB=$\frac{π}{3}$，AB=2AD，DD'=3AD，E、F分别是线段AB、D'E的中点．
（Ⅰ）求证：CE⊥DF；
（Ⅱ）求四棱锥F-AECD与四棱柱ABCD-A'B'C'D'的体积之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得底面中DE⊥EC，再由DD'⊥平面ABCD得CE⊥D'D，然后利用线面垂直的判定可得CE⊥平面D'DE，从而得到CE⊥DF；
（Ⅱ）设出AD的长度，然后由已知求出四边形ABCD与梯形AECD的面积，再由F为D'E的中点即可求得四棱锥F-AECD与四棱柱ABCD-A'B'C'D'的体积之比．

解答 （Ⅰ）证明：由题意，AD=AE，$∠DAB=\frac{π}{3}$，
∴△DAE是等边三角形，在△BEC中，求得$∠BEC=\frac{π}{6}$，
则$∠DEC=\frac{π}{2}$，即CE⊥DE，
∵DD'⊥平面ABCD，∴CE⊥D'D，又DE∩DD′=D，∴CE⊥平面D'DE，
∵DF?平面D'DE，
∴CE⊥DF；
（Ⅱ）解：设AD=2，
∵△DAE是等边三角形，∴平行四边形ABCD的边AB上的高$h=\sqrt{3}$．
∴${S_{平行四边形ABCD}}=4\sqrt{3}$，${S_{梯形AECD}}=\frac{（2+4）}{2}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
∵F为D'E的中点，DD'⊥平面ABCD，
∴四棱锥F-AECD的底面ABCD上的高为$\frac{1}{2}DD'=3$．
∴$\frac{{{V_{F-AECD}}}}{{{V_{ABCD-A'B'C'D'}}}}=\frac{{\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×3}}{{4\sqrt{3}×6}}=\frac{1}{8}$．
即四棱锥F-AECD与四棱柱ABCD-A'B'C'D'的体积之比为1：8．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了棱柱、棱锥及棱台体积的求法，是中档题．