Question

17．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）短轴的端点P（0，b）、Q（0，-b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA、PB的斜率之积等于-$\frac{1}{4}$，则P到直线QM的距离为$\frac{4\sqrt{5}b}{5}$．

Answer 1

分析 利用直线的斜率公式，求得k_PA•k_PB=$\frac{{y}^{2}-{b}^{2}}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，由A在椭圆上，则$\frac{{y}^{2}-{b}^{2}}{{x}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，即可求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，求得a=2b，利用三角形的面积相等，即$\frac{1}{2}$•丨PQ丨•丨OM丨=$\frac{1}{2}$•丨PQ丨•d，即可求得d的值．

解答 解：根据题意可得P（0，b）、Q（0，-b），设A（x，y），B（-x，-y），
由直线PA、PB的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，
则k_PA•k_PB=$\frac{y-b}{x}$•$\frac{-y-b}{-x}$=$\frac{{y}^{2}-{b}^{2}}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
由A在椭圆上可得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则$\frac{{y}^{2}-{b}^{2}}{{x}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即a=2b，
△PMQ的面积S=$\frac{1}{2}$•丨PQ丨•丨OM丨=$\frac{1}{2}$×2b×a=2b²，
设P到直线MQ的距离d，
则S=$\frac{1}{2}$•丨PQ丨•d=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$•d=$\frac{\sqrt{5}b}{2}$•d=2b²，
解得：d=$\frac{4\sqrt{5}b}{5}$，
∴P到直线QM的距离$\frac{4\sqrt{5}b}{5}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{5}b}{5}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线的斜率公式，利用三角形的面积相等求点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．