Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-2，若数列{b_n}满足b_n=10-log₂a_n，则使数列{b_n}的前n项和取最大值时的n的值为9或10．

Answer 1

分析 S_n=2a_n-2，n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，再利用等比数列的通项公式可得a_n．令b_n≥0，解得n，即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-2，∴n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），∴a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2．
∴a_n=2ⁿ．
∴b_n=10-log₂a_n=10-n．
由b_n=10-n≥0，解得n≤10．
∴使数列{b_n}的前n项和取最大值时的n的值为9或10．
故答案为：9或10．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．