Question

20．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，D是BC的中点，∠BAA₁=120^o，B₁D⊥AB．
（Ⅰ）求证：AC⊥面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B₁O，推导出B₁O⊥AB，B₁D⊥AB，从而AB⊥面B₁OD，进而AB⊥OD，再求出AC⊥AB，由此能证明AC⊥面ABB₁A₁．
（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB₁方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C₁-AD-C的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）取AB中点O，连接OD，B₁O，
△B₁BO中，AB=2，B₁B=2，∠B₁BA=60°，故△AB₁B是等边三角形，
∴B₁O⊥AB，
又B₁D⊥AB，而B₁O与B₁D相交于B₁，
∴AB⊥面B₁OD，
故AB⊥OD，又OD∥AC，所以AC⊥AB，
又∵侧面ABB₁A₁⊥底面ABC于AB，AC在底面ABC内，
∴AC⊥面ABB₁A₁．…（6分）
解：（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB、OD、OB₁方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
C（-1，2，0），A（-1，0，0），D（0，1，0），B（1，0，0），B₁（0，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{B{B_1}}=（-1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$，
$\overrightarrow{A{C_1}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C_1}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{B_1}}=（-1，2，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AD}=（1，1，0）$，
设面ADC₁的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
依题意有：$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AD}=x+y=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{A{C_1}}=-x+2y+\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，令x=1，则y=-1，$z=\sqrt{3}$，∴$\overrightarrow m=（1，-1，\sqrt{3}）$，…（9分）
又面ADC的法向量为$\overrightarrow n=（0，0，1）$，…（10分）
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+1+3}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
∴二面角C₁-AD-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$． …（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．