Question

8．现有$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥2，n∈N^*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：

设M_k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M₁＜M₂＜…＜M_n的概率为p_n．
（1）求p₂的值；
（2）证明：p_n＞$\frac{{C}_{n+1}^{2}}{（n+1）!}$．

Answer 1

分析 （1）由题意知p₂=$\frac{2{A}_{2}^{2}}{{A}_{3}^{3}}$=$\frac{2}{3}$，
（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为$\frac{n}{\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{2}{n+1}$，即可求出为p_n，再根据二项式定理和放缩法即可证明．

解答 解：（1）由题意知p₂=$\frac{2{A}_{2}^{2}}{{A}_{3}^{3}}$=$\frac{2}{3}$，即p₂的值为 $\frac{2}{3}$．            
（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为$\frac{n}{\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{2}{n+1}$；   
去掉第n行已经排好的n个数，
则余下的$\frac{n（n+1）}{2}$-n=$\frac{n（n-1）}{2}$个数中最大数在第n-1行的概率为$\frac{n}{\frac{n（n-1）}{2}}$=$\frac{2}{n}$；
…
故p_n=$\frac{2}{n+1}$×$\frac{2}{n}$×…×$\frac{2}{3}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（n+1）×n×…×3}$=$\frac{{2}^{n}}{（n+1）!}$．   
由于2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ≥C_n⁰+C_n¹+C_n²＞C_n¹+C_n²=C_n+1²，
故$\frac{{2}^{n}}{（n+1）!}$＞$\frac{{C}_{n+2}^{2}}{（n+1）！}$，即p_n＞$\frac{{C}_{n+1}^{2}}{（n+1）！}$．

点评 本题考查了排列组合的问题，以及二项式定理和放缩法证明不等式成立的问题，属于中档题