Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，BC=AP=5，AB=3，AC=4，M，N分别在线段AD，CP上，且$\frac{AM}{MD}$=$\frac{PN}{NC}$=4．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥P-AMN的体积．

Answer 1

分析 （I）在AC上取一点Q，使得$\frac{AQ}{QC}=4$，则MQ∥AB，NQ∥PA，故平面MNQ∥平面PAB，于是MN∥平面PAB；
（II）过C作CH⊥AD，垂足为H，计算CH，则N到平面PAD的距离h=$\frac{4}{5}CH$，代入棱锥的体积公式V=$\frac{1}{3}{S}_{△PAM}•h$计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：在AC上取一点Q，使得$\frac{AQ}{QC}=4$，连接MQ，QN，
则$\frac{AM}{MD}=\frac{AQ}{QC}=\frac{PN}{NC}$，∴QN∥AP，MQ∥CD，
又CD∥AB，
∴MQ∥AB．
又∵AB?平面PAB，PA?平面PAB，MQ?平面MNQ，
NQ?平面MNQ
∴平面PAB∥平面MNQ，
又∵MN?平面MNQ，MN?平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
（Ⅱ）解：∵AB=3，BC=5，AC=4，
∴AB⊥AC．
过C作CH⊥AD，垂足为H，则CH=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∵PA⊥平面ABCD，CH?平面ABCD，
∴PA⊥CH，又CH⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CH⊥平面PAD，
∵PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{41}$，$\frac{PN}{NC}=4$，
∴N到平面PAD的距离h=$\frac{4}{5}$CH=$\frac{48}{25}$，
∴V_P-AMN=V_N-PAM=$\frac{1}{3}{S}_{△PAM}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×5×4×\frac{48}{25}$=$\frac{32}{5}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．