Question

13．已知函数f（x）=|x-1|-|2x+1|的最大值为m
（1）作函数f（x）的图象
（2）若a²+b²+2c²=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

分析 （1）讨论x的范围：x≤-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$＜x≤1，x≥1，去掉绝对值，写出分段函数的形式，画出图象；
（2）通过图象可得最大值m，设a²+b²+2c²=a²+tb²+（1-t）b²+2c²≥2$\sqrt{t}$ab+2$\sqrt{2（1-t）}$bc，令2$\sqrt{t}$：2$\sqrt{2（1-t）}$=1：2，求出t的值，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|-|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{1-x+2x+1=x+2，x≤-\frac{1}{2}}\\{1-x-2x-1=-3x，-\frac{1}{2}＜x≤1}\\{x-1-2x-1=-x-2，x＞1}\end{array}\right.$，
由分段函数的图象画法可得图象如右；
（2）由（1）知，当x=-$\frac{1}{2}$时，f（x）的最大值为$\frac{3}{2}$，即m=$\frac{3}{2}$；
∴a²+b²+2c²=$\frac{3}{2}$，
设a²+b²+2c²=a²+tb²+（1-t）b²+2c²≥2$\sqrt{t}$ab+2$\sqrt{2（1-t）}$bc，
令2$\sqrt{t}$：2$\sqrt{2（1-t）}$=1：2，即8（1-t）=16t    得：t=$\frac{1}{3}$，
∴a²+b²+2c²=a²+$\frac{1}{3}$b²+$\frac{2}{3}$b²+2c²≥2•$\frac{\sqrt{3}}{3}$ab+4•$\frac{\sqrt{3}}{3}$bc=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ （ab+2bc）
∴ab+2bc≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a²+b²+2c²）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（当且仅当a²=c²=$\frac{1}{4}$，b²=$\frac{3}{4}$时取“=”号）．

点评 本题考查分段函数的图象和性质，考查最值的求法，注意运用图象和基本不等式，考查变形和化简整理的运算能力，属于中档题．