Question

8．已知函数$f（x）=\frac{{2a-{x^2}}}{e^x}（a∈R）$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若?x∈[1，+∞]，不等式f（x）＞-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为2a＞x²-e^x对?x≥1成立，令g（x）=x²-e^x，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解（Ⅰ）$f'（x）=\frac{{{x^2}-2x-2a}}{e^x}$，
当$a≤-\frac{1}{2}$时，x²-2x-2a≥0，故f'（x）≥0，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴当$a≤-\frac{1}{2}$时，函数f（x）的递增区间为（-∞，+∞），无减区间．
当$a＞-\frac{1}{2}$时，令x²-2x-2a=0$⇒{x_1}=1-\sqrt{2a+1}$，${x_2}=1+\sqrt{2a+1}$，
列表：

x	$（-∞，1-\sqrt{2a+1}）$	$（1-\sqrt{2a+1}，1+\sqrt{2a+1}）$	$（1+\sqrt{2a+1}，+∞）$
f'（x）	+	-	+
f（x）	递增	递减	递增

由表可知，当$a＞-\frac{1}{2}$时，函数f（x）的递增区间为$（-∞，1-\sqrt{2a+1}）$和$（1+\sqrt{2a+1}，+∞）$，
递减区间为$（1-\sqrt{2a+1}，1+\sqrt{2a+1}）$．
（Ⅱ）∵$f（x）＞-1?\frac{{2a-{x^2}}}{e^x}＞-1$?2a＞x²-e^x，
∴由条件，2a＞x²-e^x对?x≥1成立．
令g（x）=x²-e^x，h（x）=g'（x）=2x-e^x，
∴h'（x）=2-e^x
当x∈[1，+∞）时，h'（x）=2-e^x≤2-e＜0，
∴h（x）=g'（x）=2x-e^x在[1，+∞）上单调递减，
∴h（x）=2x-e^x≤2-e＜0，即g'（x）＜0
∴g（x）=x²-e^x在[1，+∞）上单调递减，
∴g（x）=x²-e^x≤g（1）=1-e，
故f（x）＞-1在[1，+∞）上恒成立，只需2a＞g（x）_max=1-e，
∴$a＞\frac{1-e}{2}$，即实数a的取值范围是$（\frac{1-e}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．