Question

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线$x-y+\sqrt{2}=0$相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交与A，B两点，O为坐标原点，则在椭圆C上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点到直线的距离公式及离心率公式即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}$，联立即可求得k的值，求得${k^2}=\frac{1}{14}＜\frac{1}{2}$，椭圆C上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形．

解答 解：（Ⅰ）依题意$b=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+1}}}=1$，${e^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{2}$，
∴a²=2，b²=1
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为k，则其方程为y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0…（6分）
∵△=64k⁴-4（8k²-2）（1+2k²）＞0，
∴${k^2}＜\frac{1}{2}$…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假设在椭圆C上存在点P（x，y），使得四边形OAPB为平行四边形，
则有${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}$，
∴（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x，y）
∴$x={x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，$y={y_1}+{y_2}=k（{x_1}-2）+k（{x_2}-2）=-\frac{4k}{{1+2{k^2}}}$
∵点P（x，y）在椭圆C上，
∴${（\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}）^2}+2{（-\frac{4k}{{1+2{k^2}}}）^2}=2$即28k⁴+12k²-1=0
解得：${k^2}=\frac{1}{14}＜\frac{1}{2}$，
所以在椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．