Question

3．在△ABC中，${sin^2}A+{sin^2}B-{sin^2}（A+B）=\sqrt{2}sinAsinB$．
（1）求角C的大小；
（2）若$f（x）=4sin（x-\frac{C}{2}）sin（x+\frac{A+B}{2}）$且A、B、C成等差数列，求f（A）的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理和三角形内角和定理化简，利用余弦定理求解角C的大小．
（2）根据A，B，C成等差数列，可得B=60°．那么A=π-C-B．带入f（A）可得答案．

解答 解：（1）∵A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sinC，
由正弦定理：${sin^2}A+{sin^2}B-{sin^2}（A+B）=\sqrt{2}sinAsinB$．
可化简为：${a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}=\sqrt{2}ab$
根据cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}ab}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜C＜π
∴C=$\frac{π}{4}$．
（2）A，B，C成等差数列，即3B=π，
可得B=$\frac{π}{3}$
A+B=$\frac{3π}{4}$
那么A=$π-\frac{π}{3}-\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$
由$f（x）=4sin（x-\frac{C}{2}）sin（x+\frac{A+B}{2}）$，
则f（x）=4sin（x-$\frac{π}{8}$）sin（x+$\frac{3π}{8}$）=4sin（x-$\frac{π}{8}$）cos（x-$\frac{π}{8}$）=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）
那么f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{4}$）=2sin$\frac{7π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正余弦定理和三角形内角和定理化简计算能力和运用能力．属于中档题．