Question

16．已知函数f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，-1＜f（-1）＜1，则2a-b的取值范围是$（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$．

Answer 1

分析 由题意可得0＜a+b＜2，-1＜-a+b＜1，作出可行域如图，设z=2a-b，利用z的几何意义，利用数形结合即可求出该线性规划问题中所有的最优解．

解答 解：∵f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，-1＜f（-1）＜1，
∴0＜a+b＜2，-1＜-a+b＜1，
作出可行域如图
设z=2a-b，得b=2a-z，则平移直线b=2a-z，
则由图象可知当直线经过点B时，直线b=2a-z得截距最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{-a+b=-1}\end{array}\right.$可得a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{1}{2}$
此时z最大为z=2×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
当直线经过点A时，直线b=2a-z得截距最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{-a+b=1}\end{array}\right.$可得a=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，
此时z最小为z=2×（-$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴2a-b的取值范围是$（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，
故答案为：$（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决本题的关键．