Question

1．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+2}$．
（1）若函数f（x）在定义域内不单调，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若x₁、x₂∈R⁺，且x₁≤x₂，求证：（lnx₁-lnx₂）（x₁+2x₂）≤3（x₁-x₂）．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数f（x）在定义域内不单调，得到方程x²+（4-3a）x+4=0有大于0的实数根，即可求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，x²+（4-3a）x+4≥0在区间（0，1]内恒成立，分离参数，求最值，即可求实数a的取值范围；
（3）利用分析法进行证明即可．

解答 （1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（4-3a）x+4}{x（x+2）^{2}}$，
∵函数f（x）在定义域内不单调，
∴方程x²+（4-3a）x+4=0有大于0的实数根，
∵函数y=x²+（4-3a）x+4的图象经过点（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（4-3a）^{2}-16＞0}\\{-\frac{4-3a}{2}＞0}\end{array}\right.$，∴a＞$\frac{8}{3}$；
（2）解：∵函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，
∴x²+（4-3a）x+4≥0在区间（0，1]内恒成立，
即3a≤$\frac{4}{x}$+x+4在区间（0，1]内恒成立，
∵y=$\frac{4}{x}$+x+4在x=1时取得最小值9，
∴a≤3；
（3）证明：x₁=x₂，不等式显然成立；
x₁≠x₂，只要证明ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+2{x}_{2}}$，
令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），则只要证明lnt-$\frac{3（t-1）}{t+2}$≤0即可，
由（2）可得f（x）=lnx-$\frac{3（x-1）}{x+2}$在（0，1]上是增函数，
∴f（x）≤f（1）=0，
∴lnt-$\frac{3（t-1）}{t+2}$≤0，∴不等式成立．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．