Question

12．在数列{a_n}中，a₁=1，a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=a_n（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 a₁=1，a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=a_n（n∈N^*），n≥2时，a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{（n-1）^{2}}$=a_n-1．相减可得：$\frac{n+1}{n}{a}_{n}$=$\frac{n}{n-1}{a}_{n-1}$．再利用递推关系即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=a_n（n∈N^*），
n≥2时，a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{（n-1）^{2}}$=a_n-1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=a_n-a_n-1，
化为：$\frac{n+1}{n}{a}_{n}$=$\frac{n}{n-1}{a}_{n-1}$．
∴$\frac{n+1}{n}{a}_{n}$=…=2a₁=2．
∴a_n=$\frac{2n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．