Question

2．已知f（x）=|x-1|+|x+2|．
（1）若不等式f（x）＞a²对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；
（Ⅱ）设m、n∈T，证明：$\sqrt{3}$|m+n|＜|mn+3|．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为3，可得3＞a²，由此求得实数a的取值的集合T；
（2）由（1）可得m²＜3，n²＜3，再整理，即可证明结论．

解答 （1）解：∵f（x）=|x-1|+|x+2|≥|x-1-x-2|=3，不等式f（x）＞a²对任意实数x恒成立，
∴3＞a²，∴-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$，
∴T={a|-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$}；
（2）证明：由（1）可得m²＜3，n²＜3，
∴（m²-3）（3-n²）＜0，
∴3（m+n）²＜（mn+3）²，
∴$\sqrt{3}$|m+n|＜|mn+3|．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的证明，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．