Question

17．函数f（x）=asinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的图象如图所示，则实数a和ω的最小正值分别为（　　）

• A． a=2，ω=2
• B． a=2，ω=1
• C． a=2，$ω=\frac{3}{2}$
• D． a=2，$ω=\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$asin（ωx+$\frac{π}{4}$），由于点（$\frac{π}{3}$，2），（0，2）在函数图象上，可求a，sin（$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，进而结合ω＞0，可得ω的最小正值．

解答 解：∵f（x）=asinωx+acosωx=$\sqrt{2}$asin（ωx+$\frac{π}{4}$），
由于点（$\frac{π}{3}$，2），（0，2）在函数图象上，
可得：2=$\sqrt{2}$asin（$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{4}$），且2=$\sqrt{2}$asin$\frac{π}{4}$，
解得：a=2，sin（$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得：$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，或$\frac{π}{3}$ω+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，解得：ω=6k，k∈Z，或ω=6k+$\frac{3}{2}$，k∈Z，
由于ω＞0，可得，ω的最小正值为$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．