Question

5．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点$（1，\frac{3}{2}）$．若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点$N（\frac{x_0}{a}，\frac{y_0}{b}）$称为点M的一个“椭点”．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式，利用待定系数法及a，b，c的关系，即可取得a与b的值，求得椭圆方程；
（2）以PQ为直径的圆经过坐标原点，得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，将直线l的方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，将2m²-4k²=3代入即可求得△AOB的面积．

解答 解：（1）由椭圆的离心率$e=\frac{1}{2}$，得a=2c，…（1分）
又a²=b²+c²，则$b=\sqrt{3}c$，…（2分）
∴椭圆$C：\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，
由$（{1，\frac{3}{2}}）$在C上，则$\frac{1}{{4{c^2}}}+\frac{{\frac{9}{4}}}{{3{c^2}}}=1$，得c=1，…（3分）
∴$a=2，b=\sqrt{3}$，…（4分）
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则P（$\frac{{x}_{1}}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{\sqrt{3}}$），Q（$\frac{{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{2}}{\sqrt{3}}$），
由以PQ为直径的圆经过坐标原点，得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，
即$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+\frac{{{y_1}{y_2}}}{3}=0$（1）…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，消除y整理得：（3+4k²）x²+8mk+4（m²-3）=0，
由△=64k²m²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，得3+4k²-m²＞0，
而${x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{{m^2}-3}）}}{{3+4{k^2}}}$（2）…（7分）
∴${y_1}{y_2}=（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）={k^2}{x_1}{x_2}+mk（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}=\frac{{3（{{m^2}-4{k^2}}）}}{{3+4{k^2}}}$（3）
将（2）（3）代入（1）得：$\frac{{4（{{m^2}-3}）}}{{4（{3+4{k^2}}）}}+\frac{{3（{{m^2}-4{k^2}}）}}{{4（{3+4{k^2}}）}}=0$，
即2m²-4k²=3，…（8分）
又∵$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{48（{4{k^2}-{m^2}+3}）}}}{{3+4{k^2}}}$，…（9分）
原点O到直线l：y=kx+m的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，…（10分）
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{48（{4{k^2}-{m^2}+3}）}}}{{3+4{k^2}}}\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，…（11分）
把2m²-4k²=3代入上式得${S_{△AOB}}=\sqrt{3}$，即S_△AOB的面积是为$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．