Question

6．已知函数f （x）=e^x-ax-1，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=e，函数g （x）=（2-e）x．
①求函数h（x）=f （x）-g （x）的单调区间；
②若函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），x≤m\\ g（x），x＞m\end{array}$的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若存在实数x₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=f（x₂），且|x₁-x₂|≥1，求证：e-1≤a≤e²-e．

Answer 1

分析 （1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
②求出函数的导数，通过讨论m的范围得到函数的值域，从而确定m的具体范围即可；
（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（-∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，设0≤x₁＜x₂≤2，则有0≤x₁＜lna＜x₂≤2，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=e时，f（x）=e^x-ex-1，
①h（x）=f（x）-g（x）=e^x-2x-1，h′（x）=e^x-2，
由h′（x）＞0，得x＞ln2，由h′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故函数h（x）在（ln2，+∞）递增，在（-∞，ln2）递减；
②f′（x）=e^x-e，
x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，1）递减，
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，
m≤1时，f（x）在（-∞，m]递减，值域是[e^m-em-1，+∞），
g（x）=（2-e）x在（m，+∞）递减，值域是（-∞，（2-e）m），
∵F（x）的值域是R，故e^m-em-1≤（2-e）m，
即e^m-2m-1≤0，（*），
由①可知m＜0时，h（x）=e^m-2m-1＞h（0）=0，故（*）不成立，
∵h（m）在（0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，且h（0）=0，h（1）=e-3＜0，
∴0≤m≤1时，h（m）≤0恒成立，故0≤m≤1；
m＞1时，f（x）在（-∞，1）递减，在（1，m]递增，
故函数f（x）=e^x-ex-1在（-∞，m]上的值域是[f（1），+∞），即[-1，+∞），
g（x）=（2-e）x在（m，+∞）上递减，值域是（-∞，（2-e）m），
∵F（x）的值域是R，∴-1≤（2-e）m，即1＜m≤$\frac{1}{e-2}$，
综上，m的范围是[0，$\frac{1}{e-2}$]；
（2）证明：f′（x）=e^x-a，
若a≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在R递增，
由f（x₁）=f（x₂），可得x₁=x₂，与|x₁-x₂|≥1矛盾，
∴a＞0且f（x）在（-∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，
若x₁，x₂∈（-∞，lna]，则由f（x₁）=f（x₂）可得x₁=x₂，与|x₁-x₂|≥1矛盾，
同样不能有x₁，x₂∈[lna，+∞），
不妨设0≤x₁＜x₂≤2，则有0≤x₁＜lna＜x₂≤2，
∵f（x）在（x₁，lna）递减，在（lna，x₂）递增，且f（x₁）=f（x₂），
∴x₁≤x≤x₂时，f（x）≤f（x₁）=f（x₂），
由0≤x₁＜x₂≤2且|x₁-x₂|≥1，得1∈[x₁，x₂]，
故f（1）≤f（x₁）=f（x₂），
又f（x）在（-∞，lna]递减，且0≤x₁＜lna，故f（x₁）≤f（0），
故f（1）≤f（0），同理f（1）≤f（2），
即$\left\{\begin{array}{l}{e-a-1≤0}\\{e-a-1{≤e}^{2}-2a-2}\end{array}\right.$，解得：e-1≤a≤e²-e-1，
∴e-1≤a≤e²-e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、考查不等式的证明，是一道综合题．