Question

16．如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE=3ED，CF=FB，如果对于常数m，在正方形ABC的四条边上有且只有6个不同的点P，使得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=m成立，那么m的取值范围是（-1，8）．

Answer 1

分析 建立坐标系，逐段分析$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范围及对应的解得答案．

解答 解：以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
如图，则E（0，6），F（8，4）．
（1）若P在AB上，设P（x，0），0≤x≤8．
∴$\overrightarrow{PE}$=（-x，6），$\overrightarrow{PF}$=（8-x，4）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=x²-8x+24，∵x∈[0，8]，∴8≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$≤24．
∴当m=8时有一解，当8＜m≤16时有两解．
（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤8．
∴$\overrightarrow{PE}$=（0，6-y），$\overrightarrow{PF}$=（8，4-y）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（6-y）•（4-y）=y²-10y+24，
∵0＜y≤8，∴-1≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$＜24．
∴当m=-1或8＜m＜24，有一解，当-1＜m≤8时有两解．
（3）若P在DC上，设P（x，8），0＜x≤8．
$\overrightarrow{PE}$=（-x，-2），$\overrightarrow{PF}$=（8-x，-4）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=x²-8x+8，∵0＜x≤8．
∴-8≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$≤4．
∴当m=-8或m=8时有一解，当-8＜m＜8时有两解．
（4）若P在BC上，设P（8，y），0＜y＜8，
∴$\overrightarrow{PE}$=（-8，6-y），$\overrightarrow{PF}$=（0，4-y）．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（6-y）•（4-y）=y²-10y+24，
∵0＜y＜8，∴-1≤$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$＜24．
∴当m=-1或8≤m＜24时有一解，当-1＜m＜8时有两解．
综上，在正方形ABC的四条边上有且只有6个不同的点P，使得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=m成立，那么m的取值范围是（-1，8）．
故答案为：（-1，8）．

点评 本题考查了平面向量的数量积计算，二次函数的根的个数判断．属于中档题．