Question

5．设函数$f（x）=\frac{1}{x}，g（x）=a{x^2}+bx（a，b∈R，a≠0）$，若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），有如下命题：
①当a＜0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＞0
②当a＜0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＜0
③当a＞0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＜0
④当a＞0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＞0
其中，正确命题的序号是②．

Answer 1

分析 在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，利用图象即可得出结论．

解答 解：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，
当a＜0时，要想满足条件，则有如图，做出点A关于原点的对称点C，则C点坐标为（-x₁，-y₁），由图象知-x₁＜x₂，-y₁＞y₂，即x₁+x₂＞0，y₁+y₂＜0，
同理当a＞0时，则有x₁+x₂＜0，y₁+y₂＞0，
故答案为：②．

点评 本题考查函数的图象，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．