Question

14．已知椭圆$E：\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l₁与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
（I）若直线l₁的倾斜角为$\frac{π}{4}$，|AB|的值；
（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．

Answer 1

分析 （I）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB|的值；
（Ⅱ）设直线l₁的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，由A，M，N三点共线，求得N点坐标，y₀-y₂=$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$-y₂=$\frac{2k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}-3}$-k（x₂-1），代入，利用韦达定理即可求得y₀=y₂，则直线BN⊥l．

解答 解：（I）由题意可知：椭圆$E：\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$，a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），
由直线l₁的倾斜角为$\frac{π}{4}$，则k=1，直线l的方程y=x-1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：9x²-10x-15=0，
则x₁+x₂=$\frac{10}{9}$，x₁x₂=-$\frac{5}{3}$，
则丨AB丨=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16\sqrt{5}}{9}$，
|AB|的值$\frac{16\sqrt{5}}{9}$；
（Ⅱ）设直线l₁的方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0，
则x₁+x₂=$\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$，
设N（5，y₀），由A，M，N三点共线，
有$\frac{-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}}{2}$，则y₀=$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$，
由y₀-y₂=$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$-y₂=$\frac{2k（{x}_{1}-1）}{{x}_{1}-3}$-k（x₂-1）=$\frac{3k（{x}_{1}+{x}_{2}）-k{x}_{1}{x}_{2}-5k}{{x}_{1}-3}$，
=$\frac{3k•\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}-k•\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}-5k}{{x}_{1}-3}$=0，
∴直线BN∥x轴，
∴BN⊥l．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．