Question

19．设集合$A=[（x，y）|\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}≤1]，B=[（x，y）|\left\{\begin{array}{l}|x|≤m\\|y|≤n\end{array}\right.，0＜m＜5，0＜n＜4且（m，n）∈A]$，则集合∁_AB对应图形面积取得最小值时，m+n的值为（　　）

• A． $\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$
• B． $5\sqrt{2}$
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由题意，求出椭圆的内接矩形面积最大值即可，利用基本不等式，结合面积公式可得结论．

解答 解：由题意，求出椭圆的内接矩形面积最大值即可，
由于$\frac{{m}^{2}}{25}+\frac{{n}^{2}}{16}$=1≥$\frac{mn}{10}$，∴mn≤10，∴S=4mn≤40，
当且仅当$\frac{{m}^{2}}{25}$=$\frac{{n}^{2}}{16}$=$\frac{1}{2}$，即m=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，n=2$\sqrt{2}$时，椭圆的内接矩形面积确定最大值，
∴m+n=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查椭圆方程的运用，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．