Question

4．在某校，一学科的学习由必修、选修两门课程组成，对某层次学生调查统计知，有且仅有一门课程获得学分概率为$\frac{5}{12}$，至少一门课程获得学分的概率为$\frac{11}{12}$．规定两门课程都获得学分该学科才能结业．已知必修课程获得学分的概率大于选修课程获得学分的概率且互不影响．
（1）对该层内的A同学，该学科能结业的概率是多少？
（2）在该层次的同学中随机抽取5名，记X为其中能结业的学生数，求X的期望EX与方差DX．

Answer 1

分析 （1）设该层内的任意一同学必修课程获得学分的概率为p，选修课程获得学分的概率为q，则（1-p）q+p（1-q）=$\frac{5}{12}$，1-（1-p）（1-q）=$\frac{11}{12}$，联立解得pq即可得出．
（2）由题意可得：X～B$（5，\frac{1}{2}）$，即可得出E（X），D（X）．

解答 解：（1）设该层内的任意一同学必修课程获得学分的概率为p，选修课程获得学分的概率为q，
则（1-p）q+p（1-q）=$\frac{5}{12}$，1-（1-p）（1-q）=$\frac{11}{12}$，
联立解得pq=$\frac{1}{2}$．
∴该学科能结业的概率为$\frac{1}{2}$．
（2）由题意可得：X～B$（5，\frac{1}{2}）$，E（X）=5×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．D（X）=5×$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了二项分布列的概率与数学期望计算公式及其性质、相互独立及其对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．