Question

12．某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．
（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；
（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果．
（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C₁，C₂，C₃，C₄，D₁，D₂，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．

解答 解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，
解得x=0.004，
∴甲学校的合格率为1-10×0.004=0.96，
而乙学校的合格率为：1-$\frac{2}{50}$=0.96，
故甲乙两校的合格率相同．
（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C₁，C₂，C₃，C₄，D₁，D₂，
则随机抽取2名学生的基本事件有：
{C₁，C₂}，{C₁，C₃}，{C₁，C₄}，{C₁，D₁}，{C₁，D₂}，{C₂，C₃}，{C₂，C₄}，{C₂，D₁}，
{C₂，D₂}，{C₃，C₄}，{C₃，D₁}，{C₃，D₂}，{C₄，D₁}，{C₄，D₂}，{D₁，D₂}，共15个，
其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，
∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．