Question

2．若非零向量$\overrightarrow{a}$，b满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角余弦值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 运用向量垂直的条件：数量积为0，以及数量积的性质：向量的平方即为模的平方，结合向量的夹角的余弦公式，计算即可得到所求值．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{a}$，b满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
即有3$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{b}$²=0，
即为3+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-4=0，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，
则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角余弦值为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1×2}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查向量数量积的夹角公式和性质，主要是向量的平方即为模的平方，向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．