Question

10．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，长度为2的线段MN的一个端点M在棱DD₁上运动，另一个端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面所围成的较小的几何体的体积等于$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 根据题意，连接ND，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，则|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分，求出球的半径，代入球的体积公式计算．

解答 解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接ND，
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的$\frac{1}{8}$．
其体积V=$\frac{1}{8}$×$\frac{4}{3}$×π×1³=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力和思维能力，解题的关键是根据P点满足的条件，判断几何体为球体的$\frac{1}{8}$，是中档题．