Question

1．如图抛物线C：y²=4x的弦AB的中点P（2，t）（t≠0），过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．
（Ⅰ）求点Q的坐标；
（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AB直线方程，与抛物线C：y²=4x联立，利用韦达定理，求出直线l的方程，即可求点Q的坐标；
（Ⅱ）（方法一）A，B，C，D四点共圆，有$\frac{1}{4}|CD{|^2}=\frac{1}{4}|AB{|^2}+|PM{|^2}$，即可求直线l的方程．
（方法二）利用参数方程求．

解答 解：（Ⅰ）易知AB不与x轴垂直，设AB直线方程为：y=k（x-2）+t，
与抛物线C：y²=4x联立，消去y得：k²x²+（2tk-4k²-4）x+（t-2k）²=0，
∴△=（4k²+4-2tk）²-4k²×（t-2k）²＞0（i）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程两根，
∴x₁+x₂=$\frac{{4{k^2}+4-2tk}}{k^2}=4$，
即tk=2，代入（i）中，求得$-2\sqrt{2}＜t＜2\sqrt{2}$且t≠0，
∴直线l的方程为：y-t=$-\frac{t}{2}$（x-2），
令y=0，得x=4，知定点坐标为（4，0）；…（5分）
（Ⅱ）（方法一）|AB|=$\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{4^2}-4×\frac{{{{（t-2k）}^2}}}{k^2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{4^2}-4×\frac{{{{（t-2k）}^2}}}{k^2}}=\sqrt{{t^2}+4}•\sqrt{8-{t^2}}$，…（7分）
CD直线：$y=-\frac{t}{2}（x-4）$，与抛物线y²=4x联立，消去y得：t²x²-（8t²+16）x+16t²=0，
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∴x₃+x₄=$\frac{{8{t^2}+16}}{t^2}=8+\frac{16}{t^2}$，x₃x₄=16，…（8分）
设CD的中点为M（x₀，y₀），
∴x₀=$4+\frac{8}{t^2}$，y₀=$-\frac{4}{t}$，|PM|=$\frac{{{t^2}+4}}{t^2}×\sqrt{4+{t^2}}$，
∴|CD|=$\sqrt{1+{{\frac{t}{4}}^2}}|{x_3}-{x_4}|$=$\sqrt{1+{{\frac{t}{4}}^2}}\sqrt{{{（{x_3}+{x_4}）}^2}-4{x_3}{x_4}}$=$\sqrt{1+{{\frac{t}{4}}^2}}\sqrt{{{（8+\frac{16}{t^2}）}^2}-4×16}$
=$\sqrt{4+{t^2}}\sqrt{{{（4+\frac{8}{t^2}）}^2}-16}=8×\sqrt{4+{t^2}}×\sqrt{\frac{1}{t^4}+\frac{1}{t^2}}$，
∴A，B，C，D四点共圆，有$\frac{1}{4}|CD{|^2}=\frac{1}{4}|AB{|^2}+|PM{|^2}$，
代入并整理得t⁴-12t²+32=0，求得t²=4或t²=8（舍去），t=±2．
∴直线l的方程为y=x-4或y=-x+4．…（12分）
（方法二）利用参数方程求：
设AB直线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2+mcosθ\\ y=t+msinθ\end{array}\right.$，
代入抛物线C：y²=4x得，sin²θm²+2sinθmt-4cosθm+t²-8=0，${m_1}{m_2}=\frac{{{t^2}-8}}{{{{sin}^2}θ}}$，$|PA|•|PB|=-{m_1}{m_2}=\frac{{8-{t^2}}}{{{{sin}^2}θ}}$，
则直线CD的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2+mcosβ\\ y=t+msinβ\end{array}\right.$，$β=θ+\frac{π}{2}$或$β=θ-\frac{π}{2}$
有${m_3}{m_4}=\frac{{{t^2}-8}}{{{{sin}^2}β}}$，$|PC|•|PD|=-{m_3}{m_4}=\frac{{8-{t^2}}}{{{{sin}^2}β}}$，sin²β=cos²θ，
依题意有：|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，sin²θ=cos²θ，则有$θ=\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
∴直线l的方程为y=x-4或y=-x+4．…（12分）

点评 本题考查直线过定点，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．