Question

13．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x-1），且当-1＜x＜0时，f（x）=2^x-1，则f（log₂20）等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 根据对数函数的单调性，我们易判断出log₂20∈（4，5），结合已知中f（x+1）=f（x-1）且x∈（-1，0）时，f（x）=2^x-1，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log₂20）的值．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1）
∴函数f（x）为周期为2的周期函数
又∵log₂32＞log₂20＞log₂16
∴4＜log₂20＜5
∴f（log₂20）=f（log₂20-4）=f（log₂ $\frac{5}{4}$）=-f（-log₂ $\frac{5}{4}$）
又∵x∈（-1，0）时，f（x）=2^x-1
∴f（-log₂ $\frac{5}{4}$）=-$\frac{1}{5}$，
故f（log₂20）=$\frac{1}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性，其中根据已知中f（x+1）=f（x-1），求出函数的周期是解答的关键，属中档题．