Question

3．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=2，CF=3．
（1）求证：BD⊥平面ACFE；
（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求AE的长度．

Answer 1

分析 （1）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性质得BD⊥AC，故而BD⊥平面ACFE；
（2）以O为原点建立坐标系，设CF=a，求出$\overrightarrow{OF}$和平面BDE的法向量，利用直线FO与平面BED所成角的大小为45°，可得$\frac{a+3}{{\sqrt{10}\sqrt{{a^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即可求出a的值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．…（1分）
∵AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，…（2分）
∴BD⊥AE，…（3分）
又AC?平面ACFE，AE?平面ACFE，AC∩AE=A，…（4分）
∴BD⊥平面ACFE．…（5分）
（2）解：以O为原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．…（6分）
则$B（{0，\sqrt{3}，0}），D（{0，-\sqrt{3}，0}），F（{-1，0，3}）$．
设AE=a，则E（1，0，a），
∴$\overrightarrow{OF}=（{-1，0，3}），\overrightarrow{DB}=（{0，2\sqrt{3}，0}），\overrightarrow{EB}=（{-1，\sqrt{3}，-a}）$，…（7分）
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{EB}=0\end{array}\right.$…（8分）
即$\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{3}y=0\\-x+\sqrt{3}y-az=0\end{array}\right.$令z=1，得$\overrightarrow n=（{-a，0，1}）$，…（9分）
∴$cos（{\overrightarrow n，\overrightarrow{OF}}）=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{OF}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{OF}}|}}=\frac{a+3}{{\sqrt{10}\sqrt{{a^2}+1}}}$，…（10分）
∵直线FO与平面BED所成角的大小为45°，∴$\frac{a+3}{{\sqrt{10}\sqrt{{a^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（11分）
解得a=2或$a=-\frac{1}{2}$（舍），∴|AE|=2．…（12分）

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．