Question

6．等比数列{a_n}的前n项、前2n项、前3n项之和分别为A、B、C．
（1）证明：A²+B²=A（B+C）；
（2）若对任意n∈N*，A、B、C成等差数列，证明：{a_n}是常数列．

Answer 1

分析 （1）当q=1时，成立．当q≠1时，A=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，B=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$=A（1+qⁿ），可得C=A（1+q+q²）．即可证明．
（2）对任意n∈N*，A、B、C成等差数列，可得2B=A+C．由（1）可得：2A（1+qⁿ）=A+A（1+qⁿ+q²ⁿ），A≠0，化简解出即可得出．

解答 （1）证明：当q=1时，成立．当q≠1时，A=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，B=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$=A（1+qⁿ），可得C=A（1+q+q²）．
∴A²+B²=A²+A²（1+qⁿ）²=A²（2+2qⁿ+q²ⁿ）=A（B+C）．
∴A²+B²=A（B+C）．
（2）证明：对任意n∈N*，A、B、C成等差数列，∴2B=A+C．
由（1）可得：2A（1+qⁿ）=A+A（1+qⁿ+q²ⁿ），A≠0，∴（qⁿ）²-qⁿ=0，解得qⁿ=1（q≠0）．
解得q=1，∴等比数列{a_n}是常数列．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．