Question

11．已知函数f（x）=xlnx的图象上有A、B两点，其横坐标为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1）且满足f（x₁）=f（x₂），若k=5（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$），且k为整数时，则k的值为（　　）（参考数据：e≈2.72）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 推导出f′（x）=1+lnx，x＞0，由f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，由x₁lnx₁=x₂lnx₂，得0＜x₁＜$\frac{1}{e}$＜x₂＜1，由由$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}＞\frac{1}{e}$，${x}_{2}＞\frac{2}{e}-{x}_{1}$，得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＜$\frac{2}{e}$，由此能求出k为整数时，k的值．

解答 解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
由f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，
∵函数f（x）=xlnx的图象上有A、B两点，其横坐标为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1）且满足f（x₁）=f（x₂），
∴x₁lnx₁=x₂lnx₂，
（0＜x₁＜$\frac{1}{e}$＜x₂＜1），如图所示，
由$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}＞\frac{1}{e}$，${x}_{2}＞\frac{2}{e}-{x}_{1}$，
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＜$\frac{{x}_{1}+（\frac{2}{e}-{x}_{1}）}{2}$+$\sqrt{{x}_{1}（\frac{2}{e}-{x}_{1}）}$=$\frac{1}{e}+\sqrt{\frac{2}{e}{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵t=$\frac{1}{e}+\sqrt{\frac{2}{e}{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}}$关于x₁单调递减，0＜x₁＜$\frac{1}{e}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＜$\frac{2}{e}$，∴5（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$）＜$\frac{10}{e}≈3.7$，
∴k≤3．
∴k为整数时，则k的值为3．
故选：C．

点评 本题考查整数的取值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．