Question

3．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ax-$\frac{π}{4}$）cos（ax-$\frac{π}{4}$）+2cos²（ax-$\frac{π}{4}$）（a＞0），且函数的最小正周期为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求a的值．
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求，可求f（x）最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ax-$\frac{π}{4}$）cos（ax-$\frac{π}{4}$）+2cos²（ax-$\frac{π}{4}$）（a＞0），
化简可得：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ax-$\frac{π}{2}$）+cos（2ax-$\frac{π}{2}$）+1
=$\sqrt{3}$cos2ax+sin2ax+1
=2sin（2ax+$\frac{π}{3}$）+1
∵函数的最小正周期为$\frac{π}{2}$．即T=$\frac{π}{2}$
由T=$\frac{2π}{2a}$，可得a=2．
∴a的值为2．
故f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$）+1；
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，4x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{4π}{3}$]．
当4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$时，函数f（x）取得最小值为$-2×\frac{\sqrt{3}}{2}+1$=1$-\sqrt{3}$．
当4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2×1+1=3
∴f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值为3，最小值为1$-\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题