Question

8．已知函数f（x）=（a+$\frac{1}{a}$）lnx-x+$\frac{1}{x}$，其中a＞0．
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，求a的取值范围；
（Ⅱ）设a∈（1，e]，当x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）时，记f（x₂）-f（x₁）的最大值为M（a），那么M（a）是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=$\frac{-（x-a）（x-\frac{1}{a}）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），由此根据a=1，a＞0且a≠1，利用导数性质进行分类讨论，能求出a的取值范围．
（Ⅱ）当a∈（1，e]时，$\frac{1}{a}＜1＜a$，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，对?x₁∈（0，1），有f（x₁）≥f（$\frac{1}{a}$），对?x₂∈（1，+∞），有f（x₂）≤f（a），从而[f（x₂）-f（x₁）]_max=f（a）-f（$\frac{1}{a}$），由此能求出M（a）存在最大值$\frac{4}{e}$．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（a+$\frac{1}{a}$）lnx-x+$\frac{1}{x}$，其中a＞0，
∴${f}^{'}（x）=（a+\frac{1}{a}）\frac{1}{x}-1-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{-（x-a）（x-\frac{1}{a}）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
①当a=1时，${f}^{'}（x）=-\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≤0，
f（x）在（0，+∞）上单调递减，不存在极值点；
②当a＞0时，且a≠1时，f′（a）=f′（$\frac{1}{a}$）=0，
经检验a，$\frac{1}{a}$均为f（x）的极值点，
∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．
（Ⅱ）当a∈（1，e]时，$\frac{1}{a}＜1＜a$，
f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，a）上单调递增，
在（a，+∞）上单调递减，
对?x₁∈（0，1），有f（x₁）≥f（$\frac{1}{a}$），对?x₂∈（1，+∞），有f（x₂）≤f（a），
∴[f（x₂）-f（x₁）]_max=f（a）-f（$\frac{1}{a}$），
∴M（a）=f（a）-f（$\frac{1}{a}$）
=[（a+$\frac{1}{a}$）lna-a+$\frac{1}{a}$]-[（a+$\frac{1}{a}$）ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$+a]
=2[（a+$\frac{1}{a}$）lna-a+$\frac{1}{a}$]，a∈（1，e]，
M′（a）=2（1-$\frac{1}{{a}^{2}}$）lna+2（a+$\frac{1}{a}$）$\frac{1}{a}$+2（-1-$\frac{1}{{a}^{2}}$）
=2（1-$\frac{1}{{a}^{2}}$）lna，a∈（1，e]．
∴M′（a）＞0．即M（a）在（1，e]上单调递增，
∴[M（a）]_max=M（e）=2（e+$\frac{1}{e}$）+2（$\frac{1}{e}-e$）=$\frac{4}{e}$，
∴M（a）存在最大值$\frac{4}{e}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．