Question

13．自贡某个工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如图所示，已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内（含±5）的产品为优质品，与中位数误差在±15范围内（含±15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过±15的产品为次品．企业生产一件优质品可获利润20元，生产一件合格品可获利润10元，生产一件次品要亏损10元．
（Ⅰ）求该企业2016年一年生产一件产品的利润的分布列和期望；
（Ⅱ）是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．
附：

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据上半年和下半年的数据，得出这50件产品的利润频率分布表，
写出生产一件产品的利润分布列，计算期望值；
（Ⅱ）填写2×2列联表，计算观测值K²，比较临界值得出结论．

解答 解：（Ⅰ）上半年的数据为：13，14，18，21，22，26，27，29，31，34，35，35，35，38，
42，43，45，46，46，53，54，57，58，61，62；
“中位数”为35，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个；
下半年的数据为：13，18，20，24，24，28，29，30，31，32，33，33，35，36，37，
40，41，42，42，43，47，49，51，58，62；
“中位数”为35，优质品有9个，合格品有11个，次品有5个；
则这个样本的50件产品的利润的频率分布表为

利润	频数	频率
20	15	0.3
10	21	0.42
-10	14	0.28

所以，该企业2016年一年生产一件产品的利润的分布列为

	频率	利润
优质品	0.3	6
合格品	0.42	4.2
次品	0.28	-2.8

期望值为6+4.2-2.8=7.4；
（Ⅱ）由题意，填写2×2列联表如下；

	上半年	下半年
优质品	6	9	15
非优质品	19	16	35
	25	25	50

计算观测值K²=$\frac{50{×（6×16-9×19）}^{2}}{25×25×15×35}$≈0.857，
由于0.857＜3.841，
所以没有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．

点评 本题考查了利润的频率分布列以及数学期望的计算问题，也考查了独立性检验的运用问题，是综合性题目．