Question

18．设f（x）=e^x，f（x）=g（x）-h（x），且g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，若存在实数m，当x∈[-1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，则m的最小值为（　　）

• A． $\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+1}$
• B． $\frac{2}{{e}^{2}+1}$
• C． $\frac{{e}^{2}+1}{{e}^{2}-1}$
• D． $\frac{1-{e}^{2}}{1+{e}^{2}}$

Answer 1

分析 由F（x）=g（x）+h（x）及g（x），h（x）的奇偶性可求得g（x），h（x），进而可把mg（x）+h（x）≥0表示出来，分离出参数后，求函数的最值问题即可解决．

解答 解：由f（x）=g（x）-h（x），即e^x=g（x）-h（x）①，得e^-x=g（-x）-h（-x），
又g（x），h（x）分别为偶函数、奇函数，所以e^-x=g（x）+h（x）②，
联立①②解得，g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x），h（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）．
mg（x）+h（x）≥0，即m•$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）+$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）≥0，也即m≥$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，即m≥1-$\frac{2}{1+{e}^{-2x}}$
∵存在实数m，当x∈[-1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，1-$\frac{2}{1+{e}^{-2x}}$≥$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+1}$，∴m≥$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+1}$．
∴m的最小值为$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+1}$．
故选A．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性及函数恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大．