Question

8．已知函数$f（x）={log_2}（{a^{2x}}+{a^x}-2）$（a＞0），且f（1）=2；
（1）求a和f（x）的单调区间；
（2）f（x+1）-f（x）＞2．

Answer 1

分析 （1）代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义域，
（2）根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解得即可．

解答 解：（1）函数$f（x）={log_2}（{a^{2x}}+{a^x}-2）$（a＞0），且f（1）=2，
∴log₂（a²+a-2）=2=log₂4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a-2＞0}\\{{a}^{2}+a-2=4}\end{array}\right.$，
解得a=2，
∴f（x）=log₂（2^2x+2^x-2），
设t=2^2x+2^x-2＞0，解得x＞0，
∴f（x）的递增区间（0，+∞）；
（2）f（x+1）-f（x）＞2，
∴log₂（2^2x+2+2^x+1-2）-log₂（2^2x+2^x-2）＞2=log₂4，
∴2^2x+2+2^x+1-2＞4（2^2x+2^x-2），
∴2^x＜3，
∴x＜log₂3，
∵x＞0
∴0＜x＜log₂3
∴不等式的解集为（0，log₂3）

点评 本题考查了对数函数的定义和性质以及复合函数的单调性和不等式的解的问题，属于中档题